BSGS

BSGS可以用于解决一类离散对数问题，一般形如

$$A^x\equiv B\pmod C$$

其中$C$为质数

它是怎么做的？

我们令$m=\lceil\sqrt{C}\rceil$，那么$x=im+j,i\in[0,m-1],j\in[0,m-1]$

于是原方程转化为

$$A^{im}\times A^j\equiv B\pmod C$$

即

$$A^j\equiv B\times A^{-im}\pmod C$$

我们知道$gcd(A,C)=1$，所以$A$在模$C$意义下存在逆元，$A^k$也是

那么我们将所有的$A^j$存进哈希表里$(Baby\space Step)$，然后枚举$i(Giant\space Step)$，如果找到一个$i$满足上式，那么我们就找到了一个解$x=i\times m+j$

如果$i$在$[0,m-1]$内没有解，那么原方程无解
因为根据欧拉定理，$A^{\varphi(C)}=A^{C-1}\equiv1\pmod C,A^C\equiv A\pmod C$，出现循环节
所以原方程如果有解，最小的解一定在$[0,C-1]$范围内，否则无解

时间复杂度$O(\sqrt{C})$

但是我太菜了，不会写哈希表，只会用$map$，时间复杂度到了$O(\sqrt C\log\sqrt C)$，才能勉强维持一下生活这样子

BSGS是一种典型的空间换时间的思想

例题

「Luogu3846」[TJOI2007]可爱的质数

板题，直接上BSGS就可以了

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#define mp(x,y) (make_pair((x),(y)))
#define inv(x) (fastpow((x),c-2))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;

template <typename T>void read(T &t)
{
	t=0;int f=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
	while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
	if(f)t=-t;
}

ll a,b,c;
ll m;
map<ll,ll> rec;

ll fastpow(ll a,ll b)
{
	ll re=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			re=re*base%c;
		base=base*base%c;
		b>>=1;
	}
	return re;
}
int main()
{
	read(c),read(a),read(b);
	rec.clear();
	m=ceil(sqrt(c));
	for(register ll i=0,po=1;i<m;++i,po=po*a%c)
		rec.insert(mp(po,i));
	ll iam=inv(fastpow(a,m));
	for(register ll i=0,tmp=1;i<m;++i,tmp=tmp*iam%c)
		if(rec.find(b*tmp%c)!=rec.end())
		{
			printf("%lld\n",m*i+rec[b*tmp%c]);
			return;
		}
	printf("no solution\n");
	return 0;
}