「Luogu3306」[SDOI2013]随机数生成器

problem

Solution

我们来回忆一下数列递推公式求通项的方法

令Yi=Xi+ba−1Y_i=X_i+\frac{b}{a-1}，则有

Yi=aYi−1⇒Yi=ai−1Y1Y_i=aY_{i-1}\Rightarrow Y_i=a^{i-1}Y_1

于是题目转化为求解方程

t+ba−1≡ax−1(X1+ba−1)(modp)t+\frac b{a-1}\equiv a^{x-1}(X_1+\frac b{a-1})\pmod p

⇒ax−1≡t+ba−1X1+ba−1(modp)\Rightarrow a^{x-1}\equiv\frac{t+\frac b{a-1}}{X_1+\frac b{a-1}}\pmod p

好的，这个东西我们只要用BSGS就可以了

End?

几个细节：

X1=tX_1=t时，直接输出11

当a=0a=0时，输出若b=tb=t则输出22，否则无解，X1=tX_1=t的情况已经特判

当a=1a=1时，方程实际上为

(x−1)b≡t−X1(modp)(x-1)b\equiv t-X_1\pmod p

根据裴蜀定理判掉无解，然后直接算x−1x-1即可

需要注意的是如果t−X1b=p\frac{t-X_1} b=p，则不需要取模直接输出

True End

Code

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#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#define mp(x,y) (make_pair((x),(y)))
#define inv(x) (fastpow((x),p-2))
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename T>void read(T &t)
{
	t=0;int f=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
	while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
	if(f)t=-t;
}

int T;

ll p,a,b,X1,t;
ll m;

ll fastpow(ll a,ll b)
{
	ll re=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			re=re*base%p;
		base=base*base%p;
		b>>=1;
	}
	return re;
}

map<ll,ll> rec;
void Pre()
{
	rec.clear();
	ll tmp=1;
	for(register int i=0;i<m;++i,tmp=tmp*a%p)
		rec.insert(mp(tmp,i));
}

ll BSGS()
{
	ll iatm=inv(fastpow(a,m)),tmp=1;
	for(register int i=0;i<m;++i,tmp=tmp*iatm%p)
		if(rec.find(b*tmp%p)!=rec.end())
			return i*m+rec[b*tmp%p];
	return -2;
}

ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
	read(T);
	while(T--)
	{
		read(p),read(a),read(b),read(X1),read(t);
		if(X1==t)
		{
			puts("1");
			continue;
		}
		if(a==1)
		{
			t=(t-X1+p)%p;
			if(t%gcd(b,p))
				puts("-1");
			else
				printf("%lld\n",t*inv(b)+1==p?p:(t*inv(b)+1)%p);
			continue;
		}
		if(a==0)
		{
			printf("%lld\n",b==t?2:-1ll);
			continue;
		}
		b=b*inv(a-1)%p;
		b=(t+b)*inv(X1+b)%p;
		m=ceil(sqrt(p));
		Pre();
		printf("%lld\n",BSGS()+1);
	}
	return 0;
}