生成函数

广义二项式定理

$$\frac{1}{(1+x)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix}n+k-1\\k-1\end{pmatrix}x^k$$

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各种变换

$$\sum_{i=1}^{\infty}x_i=\frac{1}{1-x}$$

$$e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$$

$$e^{-x}=1-\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\dots$$

$$\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{6^2}{6!}+\dots$$

$$\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots$$

$$e^{kx}=1+\frac{x}{1}+\frac{k^2x^2}{2!}+\frac{k^3x^3}{3!}+\dots$$